【AMM量化深潜02】Uniswap V3 的衍生品定价模型

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在上一篇【AMM量化深潜01】的探讨中，我们通过伊藤引理证明了 LP 的核心成本是 LVR (Loss-Versus-Rebalancing)，在恒定乘积公式下其数学形式为 \(\frac{\sigma^2}{8} V dt\)。这一结论揭示了“波动率税”的本质，但要实现更精确的风险对冲，我们仍需要建立一套更严密的定价框架。

本文将结合 Hou、Singh 与 Echenim 等人的近期研究，梳理 LP 头寸的静态结构原型，并从带边界停时的绝对估值与连续分期视角下的边际成本两个维度，讨论其风险与价值刻画。

价值函数与静态映射

对衍生品定价的基础是建立标的资产状态方程。本文将把 Uniswap V3 作为核心研究对象：一方面，V2 模型在实践中因效率问题较少使用；另一方面，集中流动性机制也使 V3 及其变体更具研究代表性。在 Uniswap V3 的区间 \([P_a, P_b]\) 内提供集中流动性 \(L\)（V3 白皮书定义 \(L = \frac{\Delta y}{\Delta \sqrt{P}}\)，有别于 V2 恒定积下的 \(L = \sqrt{x \cdot y}\)），其实际持仓量在区间内外均有直接定义。由 \(V_{LP}(S) = y(S) + S \cdot x(S)\) 可直接推得其总价值（以 USDC 计价）的分段函数：

$$ V_{LP}(S) = \begin{cases} S \cdot L \left( \frac{1}{\sqrt{P_a}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}} \right) & S \le P_a \\ L \left( 2\sqrt{S} - \sqrt{P_a} - \frac{S}{\sqrt{P_b}} \right) & P_a < S < P_b \\ L \left( \sqrt{P_b} - \sqrt{P_a} \right) & S \ge P_b \end{cases} $$

图 1：V3 LP 头寸的分段价值函数 \(V_{LP}(S)\)。中间段的 \(2\sqrt{S}\) 决定了其二阶导数（Gamma）为负的形态特征。

结构拆解

观察 Payoff 在价格边界的表现，可以将其风险轮廓近似理解为做空宽跨式期权 (Short Strangle)。

• 左边界 (\(S \le P_a\)) 价格跌破 \(P_a\) 后，LP 被迫持有全仓贬值资产并承担后续所有亏损，可近似理解为在 \(P_a\) 一侧暴露于 Short Put 风险。
• 右边界 (\(S \ge P_b\)) 价格涨破 \(P_b\) 后，资产清空换为 USDC 并错失上涨收益，可近似理解为在 \(P_b\) 一侧暴露于 Short Call 风险。

图 2：V3 LP Payoff（蓝色）与 Short Strangle 风险轮廓（橙色虚线）的示意比较。

Echenim et al. 证明，V3 LP 的静态本质可视为卖出一篮子涵盖不同行权价的 Put 和 Call 组合。其与标准 Strangle 的差异在于区间内伴随持续的 Gamma 损耗。

估值模型

尽管静态结构清晰，经典的 Black-Scholes (B-S) 模型却无法直接套用于 LP，原因在于 LP 头寸具备三大特异性：

1. 无固定到期日（永续性）。
2. 随机停时（Stopping Time, \(\tau\)）：头寸随时可能因价格出界而终止手续费产出，其全生命周期依赖于价格触碰边界的随机时机。
3. 现金流嵌入：必须将其在存续期间持续产生的手续费作为年金进行折现。

由于传统的“万能定价公式”面临困境，相关研究目前主要沿两条互补路径展开：绝对价值发现与边际成本度量。

价值发现：鞅停时绝对估值模型（Hou et al.）

这一类模型主要解答“LP 头寸现在究竟值多少钱”。它将 LP 视为依赖于首次边界触达时机的奇异期权。

推导过程中，模型对资产价格运动进行标准化变换，并引入指数鞅 (Exponential Martingale) 及拉普拉斯变换。不同于纯数值模拟，它利用边界条件给出了与首次触界相关的解析表达。

具体而言，根据当前价格 \(S_t\) 和波动率 \(\sigma\)，需先计算四组度量位置与衰减的中间参数：漂移调整项 (\(\mu’\))、时间衰减因子 (\(\lambda\))，以及当前价格距上下边界的标准化距离 (\(a’\) 和 \(b’\))。

基于上述变量，LP 现值 \(V_t\) 最终拆分为预期资产残值（第一部分）与预期手续费收益（第二部分）：

$$ V_{t} = \underbrace{LP_{H} e^{\mu'b'} \frac{\sinh(a'\lambda)}{\sinh((a'+b')\lambda)} + LP_{L} e^{\mu'a'} \frac{\sinh(b'\lambda)}{\sinh((a'+b')\lambda)}}_{\text{第一部分：本金预期折现}} + \underbrace{\frac{C_{a} L_{q}}{r} \left( 1 - \frac{e^{\mu'a'}\sinh(b'\lambda) + e^{\mu'b'}\sinh(a'\lambda)}{\sinh((a'+b')\lambda)} \right)}_{\text{第二部分：存续期手续费折现}} $$

公式的核心在于由 \(\sinh\)（双曲正弦函数）构成的概率折现权重。

• 本金预期折现 加号两边分别代表“碰到上限拿全 U 离场（\(LP_H\)）”和“碰到下限拿全币离场（\(LP_L\)）”的折现现值。分式 \(\frac{\sinh(\dots)}{\sinh(\dots)}\) 是利用拉普拉斯变换算出的“在触碰另一边界前，率先触碰该边界的概率（带折现性质）”。例如，当前价格越靠近上限（\(b’\) 变小），带着 \(LP_H\) 离场的概率权重就越大。
• 手续费折现 括号外的 \(\frac{C_a L_q}{r}\) 是假设价格永远不出界、能无限期赚取手续费的理想“永续年金现值”。但因为价格必定会出界，括号内被减去的那一大坨公式，算出的正是“因为价格随时可能触界停止计费而导致的手续费预期损失”。

数值示例

以 ETH-USDC 0.3% 池为例（设 \(S_t = 2000\), \([P_a, P_b] = [1600, 2400]\), \(\sigma = 0.8, r = 0.05, \mu = 0\)）：

变量	定义	代入计算	示例值	含义
\(\mu’\)	\(\frac{\mu}{\sigma} - \frac{\sigma}{2}\)	\(\frac{0}{0.8} - \frac{0.8}{2}\)	\(-0.40\)	对数价格的有效漂移项。由于几何布朗运动的「波动率拖累 (Volatility Drag)」，即使 \(\mu=0\)，对数价格的中位数也会因 \(-\frac{1}{2}\sigma^2\) 而随时间向下自然漂移。
\(\lambda\)	\(\sqrt{\frac{2r}{\sigma^2}+1}\)	\(\sqrt{\frac{2\times 0.05}{0.64}+1}\)	\(1.08\)	折现强度因子。利率或波动率越高，\(\lambda\) 越大，停时概率折现越强。
\(a’\)	\(\frac{1}{\sigma}\ln\frac{S_t}{P_a}\)	\(\frac{1}{0.8}\ln\frac{2000}{1600}\)	\(0.28\)	当前价格距下界的标准化距离
\(b’\)	\(\frac{1}{\sigma}\ln\frac{P_b}{S_t}\)	\(\frac{1}{0.8}\ln\frac{2400}{2000}\)	\(0.23\)	当前价格距上界的标准化距离

成本度量：连续分期期权模型（Singh et al.）

与 Hou 等人求解绝对现值不同，Singh et al. 的模型并不给 LP “标价”，而是聚焦于度量“LP 的边际持仓成本”。他们将 LP 的动态暴露建模为卖出 **永久美式分期付款期权 (Continuous-Installment Option, CIO)**。

在 CIO 合约中，持有者需连续支付资金费 (\(q\)) 以维持合约存续。这一机制较好地拟合了 LP 以 LVR（Gamma 损耗）为代价换取持续手续费的连续过程。

图 3：LP Delta 曲线可由 CIO 期权阶梯条带近似重构。

该论文的核心恒等式证明，在极限条件下，这套复制系统的单瞬时资金费支付总数，恰恰收敛于 LP 面临的瞬时 LVR：

$$ d\text{LVR}_t = \text{Funding Fee} (q) = \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 |\Gamma|\, dt $$

其中 \(\Gamma = V’’(S_t) < 0\)，故取绝对值后资金费率恒为正。这一结论为 LP 的瞬时持仓成本提供了一个直接刻画：手续费流水是 LP 的主要收入来源，而资金费率 \(q\) 则可视为核心持仓成本的一种理论表达。

希腊字母

引入更严密的框架后，借用希腊字母 (Greeks) 能直接定性与定量市场波动造成的结构变化。

Delta

Delta 度量了标的市场价格对持仓总价值的影响：

$$ \Delta = \frac{\partial V_{LP}}{\partial S} $$

图 4：Delta 在区间内随价格递减，体现自动高抛低吸再平衡特性。

但值得强调的是：当定价公式纳入未来的预期手续费收入（即期权现值加成）后，真实的 Delta 曲线与基于静态纯仓位推算出的 Payoff Delta 会产生明显背离。忽略此差异，仅用 Payoff Delta 指导动态调仓，往往会根据当前价格所处区间位置触发“对冲不足”或“过度对冲”。

Gamma

区间内的 Gamma 恒定为负（\(|\Gamma| \propto S^{-3/2}\)），这是逆向选择交易带来的持续回撤根源。

图 5：区间内 Gamma 恒为负，并随价格上升衰减绝对值。

代入 Singh 模型的恒等式 \(dLVR_t = \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 |\Gamma|, dt\)（此处 \(\Gamma = V’’ < 0\)，与上节符号完全一致），证实 LVR 的物理速率完全由价格、波动率 \(\sigma\) 与 \(|\Gamma|\) 决定。极窄区间会显著放大负 Gamma 敞口，这验证了过度集中流动性带来的加速磨损。

Vega

做空 Gamma 直接导致 LP 的 Vega 同为负数 (\(\mathcal{V} < 0\))。即便当下价格未变，隐含波动率上调不仅会加速理论 LVR 的耗损，更因触界提前概率增大而即刻折损头寸的期权现值。

对冲与利润

基于量化模型拆分完毕后，LP 最后的核心运作在于管理 Delta 暴露，并缓释负 Gamma 带来的损耗。

静态对冲：做多宽跨式 (Long Strangle)

Echenim 提出的原始对冲方案，是在期权市场按对应边界行权价配置 Call 和 Put 头寸。正的 Gamma 和 Vega 可以直接抵消 AMM 的空头特征。但限制在于资金周转周期固定，存在较重展期摩擦损耗，以及必须精算当期手续费能否覆盖期权摊销费用。

动态对冲：连续 Delta 中性

若采用永续类产品持续做空以清零方向性敞口，对组合价值关于时间取全微分，可得：

$$ d(\text{LP}+\text{Hedge}) = \frac{1}{2}\Gamma(S_t) \sigma^2 S_t^2 dt = -dLVR_t $$

这一推导表明：在理想连续对冲的设定下，若方向性风险被剥离，组合主要剩余由负 Gamma 驱动的再平衡损耗。动态对冲的作用并不是消除成本，而是将原本分散在价格路径中的这部分损耗更清晰地显性化。

利润等式

将期权覆盖的对冲成本带入，在给定对冲设定下，LP 的损益可表示为以下等式：

图 6：对冲框架下 LP 收益的三部分分解：手续费收入、LVR 损耗与外部对冲成本。

$$ \text{P\&L}_{\text{Hedged LP}} = \int_0^T d\text{Fees}_t - \int_0^T d\text{LVR}_t - \text{Option Premiums} $$

这套期权利润模型，与我们在《与市场同尘——广义流动性提供者修行笔记》中所提出的 “广义 LP 根本损益框架”（\(\Pi \approx F - C_{AS} - C_{IR} - C_{Op}\)，其中 \(F\) 代表服务酬劳/手续费收入）在概念上相互呼应。
在那个较为抽象的底层框架里：由于提供集中流动性而获得的 \(\text{Fees}\) 即是服务酬劳（\(F\)）；模型中持续流散的 \(\text{LVR}\) 正是资金池在微观层面交出的逆向选择成本（\(C_{AS}\)）；而为了锁定风险区间去外部采买期权所消耗的 \(\text{Option Premiums}\)，则构成了消除库存漂移风险而必须支付的结构性摩擦及对冲成本（\(C_{IR}\)）。

图 7：模拟数据下的累积盈亏时间线，表明绿色净胜出通常依赖于相对较弱的波动率环境和较强的交易量。

总结

Uniswap V3 LP 头寸具有明显的期权化特征，可以从多个互补视角来理解：既可从静态 payoff 上与卖出期权结构相联系，也可在鞅停时模型与连续分期框架下分析其动态风险暴露。从这些模型出发，手续费、LVR 与外部对冲成本能够被纳入同一套核算框架中比较。严格对冲提升的是风险的可度量性与策略的可评估性，并不自动意味着确定性的正收益。

了解底牌后，最后的冲刺是算法的最优控制。在【AMM量化深潜03】中，我们将引入动态规划中的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程推导最优区间宽度 \(\delta_t^*\) 的极值规律，并探索在模型基础上运用机器学习预判底层 \(\sigma\) 异动的实现方案。

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参考文献

• Echenim, Mnacho, Emmanuel Gobet, and Anne-Claire Maurice. n.d. Uniswap v3: Impermanent Loss Modeling and Swap Fees Asymptotic Analysis.
• Hou, Liang, Hao Yu, and Guosong Xu. 2025. “Risk-Neutral Pricing Model of Uniswap Liquidity Providing Position: A Stopping Time Approach.” arXiv:2411.12375. Preprint, arXiv, March 8. https://doi.org/10.48550/arXiv.2411.12375.
• Singh, Srisht Fateh, Reina Ke Xin Li, Samuel Gaskin, et al. 2025. “Modeling Loss-Versus-Rebalancing in Automated Market Makers via Continuous-Installment Options.” arXiv:2508.02971. Preprint, arXiv, August 5. https://doi.org/10.48550/arXiv.2508.02971.