基于贝叶斯推断的电影票房超预期度量方法
电影产业作为典型的高不确定性市场，其票房表现对出品方的财务状况及市场估值具有直接影响。票房的 超预期程度 是衡量市场对电影接受度的关键指标，同时也是评估电影公司业绩的重要变量。然而，传统票房预测方法往往依赖静态的点估计模型，难以精准刻画票房随时间演化的动态特性，更难以量化票房超出市场预期的幅度及其不确定性，难以转化为可行的投资策略。
研究意义
本文提出了一种 基于贝叶斯推断的票房超预期度量方法，通过构建 贝叶斯时序模型（Bayesian Time Series Model），基于 趋势-衰减动态机制，同时利用人工先验与实时票房数据对电影票房进行概率预测，并计算票房超预期程度。该方法不仅能提高票房预测的准确性，还能量化票房超预期概率，提供更具解释力的度量工具。
贝叶斯方法在电影票房预测中的核心优势在于：
- 提供完整的后验分布，可以计算票房超预期的概率，而非仅仅是一个单点预测。
- 动态更新预测，能够适应市场变化，而传统模型必须重新训练。
- 定量衡量不确定性，提供置信区间和概率解释，而不是单一的预测值。
票房预测的贝叶斯框架
设 \(y_t\) 表示电影在第 \(t\) 日的票房，\(\mathbf{x}_t\) 为影响票房的特征（如营销投入、口碑评分等），目标是预测 \(y_t\) 并评估其超预期程度。
(1) 先验分布：
贝叶斯模型首先假设票房参数 \(\theta\) 服从某个先验分布(可以由研究员结合市场预测/主观判断指定)：
$$ p(\theta) \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0^2) $$
其中，\(\theta\) 表示票房的关键参数（如增长率、衰减系数等）。
(2) 似然函数：
观测数据 \(y_t\) 服从某个带噪声的分布：
$$ y_t \mid \theta, \mathbf{x}_t \sim \mathcal{N}(f(\mathbf{x}_t, \theta), \sigma^2) $$
其中，\(f(\mathbf{x}_t, \theta)\) 是票房预测的均值函数（可以是线性或非线性函数，如神经网络、Gamma回归等）。
(3) 后验分布更新：
利用贝叶斯定理，结合观测数据更新 \(\theta\) 的后验分布：
$$ p(\theta \mid y_{1:t}) \propto p(y_{1:t} \mid \theta) p(\theta) $$
然后对未来票房 \(y_{t+1}\) 进行预测：
$$ p(y_{t+1} \mid y_{1:t}) = \int p(y_{t+1} \mid \theta) p(\theta \mid y_{1:t}) d\theta $$
此时，我们获得的是一个 分布 而非单一预测值。
贝叶斯方法的数学优越性
预测不确定性
传统方法（如回归）仅提供点估计：
$$ \hat{y}_t = f(\mathbf{x}_t; \hat{\theta}) $$
而贝叶斯方法提供完整的后验分布：$$ p(y_t \mid y_{1:t-1}) $$
从而可以估算 **置信区间**，例如 95% 预测区间：$$ [\mathbb{E}[y_t] - 1.96 \sigma, \mathbb{E}[y_t] + 1.96 \sigma] $$
这在票房数据高波动的情况下尤为重要。动态更新，适应市场变化
贝叶斯推断允许我们 随着新数据的加入动态更新预测：
$$ p(\theta \mid y_{1:t}) \rightarrow p(\theta \mid y_{1:t+1}) $$
因此，模型能够适应新趋势，例如：
- 电影口碑逐步发酵导致票房超预期
- 社交媒体突发事件提升观众兴趣
而传统方法通常需要重新训练模型，无法做到 实时自适应。
可解释性
贝叶斯方法可以直接计算：
$$ P(y_t > \mathbb{E}[y_t]) $$
相比黑箱机器学习（如深度学习），提供了更直观的概率解释。例如：
- “这部电影今天票房超出预测值的概率是 98%” → 说明市场对其接受度远超预期
- “票房跌破 90% 置信区间的概率仅 5%” → 说明模型预测稳健
票房时序建模
电影票房通常呈现典型的 生命周期模式，可分解为 增长期 和 衰减期 两个阶段。我们构建以下动态模型：
$$ y(t;S_0,\mu, \lambda) = S_0 \cdot (\mu t + 1) \cdot e^{-\lambda t} + \epsilon_t $$
其中：
- \(S_0\)：首日票房基准值（受制作规模、IP影响力等因素决定）
- \(\mu\)：增长速率参数（反映口碑传播效应）
- \(\lambda\)：衰减速率参数（反映观众兴趣衰退）
- \(\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\)：观测噪声
该模型具有明确的 经济学解释：
- \((\mu t +1)\) 项刻画 口碑驱动的线性增长（如社交媒体传播）
- \(e^{-\lambda t}\) 项反映 自然衰减效应（观众兴趣随时间递减）
- 乘积形式保证单峰形态，与真实票房曲线一致
时序模型拟合
基于猫眼电影网上的280多部电影的票房事件序列，分别进行参数拟合。检验票房时序模型是否能捕捉到票房变化的一般趋势。
对于某一部特定的电影，拟合的过程归结为求解优化问题:
$$ \theta = \mathrm{argmin}_{\theta}\ \mathcal{L}(\theta),\quad \mathcal{L}(\theta) = \frac{1}{T}\sum_t (\hat{y}_t(\theta) - y_t)^2 $$
其中\(T\)是观测到的票房时间序列长度，\(y_t\)为猫眼网给出的这部电影第\(t\)天的票房数据，\(\hat{y}_t\)是模型基于参数\(\theta\)给出的第\(t\)天的票房预测值。
通过对每一部电影求解优化问题，我们可以得到其对应的最佳拟合参数 \(Y ={(S_0^{(i)},\mu^{(i)},\lambda^{(i)})}_{i=1}^n\)。
计算线性增长率参数和自然衰减参数的均值和方差：
$$ m_{\mu} = \frac{1}{n}\sum_i \mu^{(i)},\quad\sigma_{\mu}^2 = \frac{1}{n}\sum_i(\mu^{(i)} - m_{\mu})^2 $$
$$ m_{\lambda} = \frac{1}{n}\sum_i \lambda^{(i)},\quad\sigma_{\lambda}^2 = \frac{1}{n}\sum_i(\lambda^{(i)} - m_{\lambda})^2 $$
基于LightGBM的先验生成模型
模型设定
我们通过集成学习的方法，基于上映前的电影特征，训练模型，预测电影的首日票房参数。并利用预测值构造参数的先验分布函数。
训练数据与目标变量：
- 特征矩阵 \(X \in \mathbb{R}^{n \times p}\)（n部历史电影，p个特征）
- 目标变量 \(Y ={S_0^{(i)}}_{i=1}^n\)(n部电影的首日票房参数)
使用LightGBM模型预测首日票房参数
对于新电影特征 \(x_{\text{new}}\)，我们可以得到基于集成学习模型的首日票房预测结果：
$$ \hat{S}_0 = \mathrm{model}(x_{\mathrm{new}}) $$
贝叶斯参数估计
对参数 \(\theta = (S_0,\mu,\lambda)\) 指定共轭先验：
$$ \begin{aligned} p(S_0) =& \mathcal{N}^+(S_0;\hat{S}_0,\sigma_S^2) \\ p(\mu) =& \mathcal{N}^+(\mu; m_{\mu},\sigma^2_{\mu}) \\ p(\lambda)=& \mathcal{N}^+(\lambda;m_\lambda,\sigma_\lambda^2) \end{aligned} $$
其中 \(\mathcal{N}^+\) 表示截断正态分布（保证三个参数非负）。在此基础上，用户可以基于媒体给出的预测，额外增加参数分布的先验信息：
$$ \begin{aligned} p'(S_0) =& \mathcal{N}^+(S_0;\hat{S}_0',\sigma_S'^2) \\ p'(\mu) =& \mathcal{N}^+(\mu; m_{\mu}',\sigma'^2_{\mu}) \\ p'(\lambda)=& \mathcal{N}^+(\lambda;m_\lambda',\sigma_\lambda'^2) \end{aligned} $$
综合模型预测先验函数与用户定义的先验函数，整合得到最终的先验分布函数：
$$ \mathrm{prior}(\theta) =p(S_0)p(\mu)p(\lambda)\times p'(S_0)p'(\mu)p'(\lambda) $$
通过电影上映后观测到的票房序列\({y_t}_{t=1}^T\)，基于最大熵原理构造似然函数：
$$ \mathrm{likelyhood}(\theta;y_{1:T}) = \Pi_i \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_i^2}} \exp{\left(-\frac{(y_t-\hat{y}_t(\theta))^2}{2\sigma_i^2}\right)} $$
结合参数的先验分布与似然函数得到参数的后验分布，使用马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)采样法，近似后验分布 \(p(\theta|y_{1:T})\)：
$$ p(\theta|y_{1:T}) = \mathrm{prior}(\theta)\times \mathrm{likelyhood}(\theta;y_{1:T}) $$
基于采样结果，我们可以对票房时间序列、总票房等各种重要指标进行预测，并给出其概率分布区间。
衡量”超预期”程度
总票房
总票房 \(Y = \sum_{t=1}^T y_t\) 的后验分布可通过蒙特卡洛积分近似：
从后验 \(p(\theta|y_{1:t})\) 抽取 \(N\) 组参数 \(\theta^{(i)}\)
对每组参数计算
$$ Y^{(i)} = \frac{S_0}{1 - e^{-\lambda}} \left( 1 + \frac{\mu e^{-\lambda}}{1 - e^{-\lambda}} \right) $$
- 得到总票房的经验分布 \({Y^{(i)}}_{i=1}^N\)
定义”超预期”的两种量化方式：
1. 绝对阈值法
给定行业预测值 \(Y_{\text{ref}}\)（如猫眼专业版预测），计算超越概率：
$$ P_{\text{beat}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbb{I}(Y^{(i)} > Y_{\text{ref}}) $$
2. 相对分位数法
以模型自身预测的中位数 \(Y_{\text{med}}\) 为基准，计算：
$$ P_{\text{extreme}} = P(Y > Y_{\text{med}} + k\sigma_Y) $$
其中 \(\sigma_Y\) 为后验标准差，\(k\) 可根据风险偏好调整（通常取1-2）。
基于参数偏离的口碑量化评估
电影口碑可以通过模型参数与先验预期的偏离进行科学量化，建立以下评估体系：
口碑强度指标
(1) 增长参数偏离度（μ-Deviation）
定义：
$$ D_\mu = \frac{\mu_{\text{post}} - \mu_{\text{prior}}}{\sigma_{\mu_{\text{prior}}}} $$
- \(D_\mu > 1.64\)：口碑显著正向（p<0.05）
- \(D_\mu < -1.64\)：口碑显著负向
(2) 衰减参数偏离度（λ-Deviation）
$$ D_\lambda = \frac{\lambda_{\text{prior}} - \lambda_{\text{post}}}{\sigma_{\lambda_{\text{prior}}}} $$
- \(D_\lambda > 0\)：生命周期延长
- \(D_\lambda < 0\)：快速衰退
综合口碑指数
构建加权指标：
$$ WOM = w_\mu D_\mu + w_\lambda D_\lambda $$
建议权重：
- \(w_\mu = 0.6\)（增长效应更重要）
- \(w_\lambda = 0.4\)
分级标准：
- WOM > 2：现象级口碑
- 1 < WOM ≤ 2：优质口碑
- |WOM| ≤ 1：符合预期
- WOM < -1：口碑崩坏
基于贝叶斯推断的电影票房超预期度量方法